গণিতের সূত্রাবলী | পাটিগণিতের সূত্রাবলী- গ.সা.গু এবং ল.সা.গু
গ.সা.গু
দুইটি সংখ্যার সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ককে তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (সংক্ষেপে গ.সা.গু) বলা হয়।
দুইটি সংখ্যার ১ ভিন্ন কোন সাধারণ গুণনীয়ক নাও থাকতে পারে। সেক্ষেত্রে তাদের গ.সা.গু হবে ১। এরুপ সংখ্যাযুগলকে সহমৌলিক বলা হয়। যেমন- ৮, ৯। দুইটি বিভিন্ন মৌলিক সংখ্যা অবশ্যই সহমৌলিক। কিন্তু সহমৌলিক সংখ্যাযুগলের কোন একটি সংখ্যা মৌলিক নাও হতে পারে।
দুইটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ জানা থাকলে, তাদের গ.সা.গু সহজেই লেখা যায়। যেমন-
২৭৭২ = ২²×৩²×৭×১১
এবং ৪২০০ = ২³×৩×৫²×৭
এর গ.সা.গু = ২²×৩×৭ = ৮৪। এই প্রক্রিয়াতে উভয় সংখ্যার সাধারণ মৌলিক উৎপাদগুলো চিহ্নিত করে উভয় সংখ্যার মধ্যে তাদের ক্ষুদ্রতম সূচক নিতে হয়, এভাবে প্রাপ্ত সংখ্যারগুলোর গুণফলই নির্ণেয় গ.সা.গু।
ইউক্লিডের গ.সা.গু নির্ণয়ের প্রক্রিয়া
মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ না করে, কিভাবে দুটি সংখ্যার গ.সা.গু নির্ণয় করা যায় তার সর্বপ্রথম উল্লেখ দেখা যায় ইউক্লিডের মহাগ্রন্থ “অবতরণিকায়” এ। তাই ঐ প্রণালী ইউক্লিডীয় গ.সা.গু প্রক্রিয়া নামে পরিচিত। একটি উদাহরণের সাহায্যে এই প্রক্রিয়া ব্যাখ্যা করা যায়-
১৪৪ ও ৬৩০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে বড় সংখ্যাটিকে ছোট সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ দেই। ভাগফল হল ৪, এবং ভাগশেষ হল ৫৪। এখন এই ভাগশেষ দিয়ে ছোট সংখ্যাটিকে ভাগ দেই। ভাগফল হল ২; ভাগশেষ হল ৩৬। এখন আবার এই ভাগশেষ দিয়ে পূর্ববর্তী ভাগশেষ ৫৪-কে ভাগ দেই; ভাগফল হল ১; ভাগশেষ হল ১৮। এখন এই ভাগশেয় দিয়ে পূর্ববর্তী ভাগশেষ ৩৬ কে ভাগ দিলে কোন অবশিষ্ট থাকে না। ভাগ মিলে যাওয়ায় ঠিক আগের ভাগশেষেই নির্ণেয় গ.সা.গু। এক্ষেত্রে গ.সা.গু হচ্ছে ১৮।
* খ্রিস্টীয় নবম শতাব্দীর গোড়ার দিকে আল-খারিজমী “আল-জবর ওয়াল মুকাবিলা” গ্রন্থ প্রণয়ন করেন। এই গ্রন্থ বীজগণিতের ক্রমবিকাশে অতি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে। আল-জবর থেকে Algebra এবং লেখকের নাম থেকে algorithm উদ্ভূত হয়েছে। যে কোন বিধিবদ্ধ প্রণালীকেই algorithm বলা যায়।
ল.সা.গু
দুইটি সংখ্যার সাধারণ গুণিতকদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (সংক্ষেপে ল.সা.গু) বলা হয়।
দুইটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ জানা থাকলে তাদের ল.সা.গু ও সহজে লেখা যায়। যেমন-
২৭৭২ = ২²×৩²×৭×১১
এবং ৪২০০ = ২³×৩×৫²×৭
এর ল.সা.গু. = ২³×৩²×৫²×৭×১১ = ১৩৮৬০০
এই প্রক্রিয়ায় উভয় সংখ্যার উপস্থিত সকল মৌলিক উৎপাদকগুলোর উভয় সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম সূচক নিতে হয়। এভাবে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোর গুণফলই নির্ণেয় ল.সা.গু।
* দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল; কেননা এরুপ দুইটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে আদৌ কোন সাধারণ উৎপাদক থাকতে পারে না। অতএব এদের ল.সা.গু পেতে হলে সংখ্যাদ্বয়ের সকল মৌলিক উৎপাদকের গুণফল নিতে হবে, যা সংখ্যাদ্বয়ের গুণফলের সমান।
দুইটি সংখ্যার সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ককে তাদের গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (সংক্ষেপে গ.সা.গু) বলা হয়।
দুইটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ জানা থাকলে, তাদের গ.সা.গু সহজেই লেখা যায়। যেমন-
২৭৭২ = ২²×৩²×৭×১১
এবং ৪২০০ = ২³×৩×৫²×৭
এর গ.সা.গু = ২²×৩×৭ = ৮৪। এই প্রক্রিয়াতে উভয় সংখ্যার সাধারণ মৌলিক উৎপাদগুলো চিহ্নিত করে উভয় সংখ্যার মধ্যে তাদের ক্ষুদ্রতম সূচক নিতে হয়, এভাবে প্রাপ্ত সংখ্যারগুলোর গুণফলই নির্ণেয় গ.সা.গু।
ইউক্লিডের গ.সা.গু নির্ণয়ের প্রক্রিয়া
মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ না করে, কিভাবে দুটি সংখ্যার গ.সা.গু নির্ণয় করা যায় তার সর্বপ্রথম উল্লেখ দেখা যায় ইউক্লিডের মহাগ্রন্থ “অবতরণিকায়” এ। তাই ঐ প্রণালী ইউক্লিডীয় গ.সা.গু প্রক্রিয়া নামে পরিচিত। একটি উদাহরণের সাহায্যে এই প্রক্রিয়া ব্যাখ্যা করা যায়-
১৪৪ ও ৬৩০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করতে হবে। প্রথমে বড় সংখ্যাটিকে ছোট সংখ্যাটি দিয়ে ভাগ দেই। ভাগফল হল ৪, এবং ভাগশেষ হল ৫৪। এখন এই ভাগশেষ দিয়ে ছোট সংখ্যাটিকে ভাগ দেই। ভাগফল হল ২; ভাগশেষ হল ৩৬। এখন আবার এই ভাগশেষ দিয়ে পূর্ববর্তী ভাগশেষ ৫৪-কে ভাগ দেই; ভাগফল হল ১; ভাগশেষ হল ১৮। এখন এই ভাগশেয় দিয়ে পূর্ববর্তী ভাগশেষ ৩৬ কে ভাগ দিলে কোন অবশিষ্ট থাকে না। ভাগ মিলে যাওয়ায় ঠিক আগের ভাগশেষেই নির্ণেয় গ.সা.গু। এক্ষেত্রে গ.সা.গু হচ্ছে ১৮।
* খ্রিস্টীয় নবম শতাব্দীর গোড়ার দিকে আল-খারিজমী “আল-জবর ওয়াল মুকাবিলা” গ্রন্থ প্রণয়ন করেন। এই গ্রন্থ বীজগণিতের ক্রমবিকাশে অতি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করেছে। আল-জবর থেকে Algebra এবং লেখকের নাম থেকে algorithm উদ্ভূত হয়েছে। যে কোন বিধিবদ্ধ প্রণালীকেই algorithm বলা যায়।
ল.সা.গু
দুইটি সংখ্যার সাধারণ গুণিতকদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (সংক্ষেপে ল.সা.গু) বলা হয়।
দুইটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ জানা থাকলে তাদের ল.সা.গু ও সহজে লেখা যায়। যেমন-
২৭৭২ = ২²×৩²×৭×১১
এবং ৪২০০ = ২³×৩×৫²×৭
এর ল.সা.গু. = ২³×৩²×৫²×৭×১১ = ১৩৮৬০০
এই প্রক্রিয়ায় উভয় সংখ্যার উপস্থিত সকল মৌলিক উৎপাদকগুলোর উভয় সংখ্যার মধ্যে বৃহত্তম সূচক নিতে হয়। এভাবে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোর গুণফলই নির্ণেয় ল.সা.গু।
* দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার ল.সা.গু. সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল; কেননা এরুপ দুইটি সংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণে আদৌ কোন সাধারণ উৎপাদক থাকতে পারে না। অতএব এদের ল.সা.গু পেতে হলে সংখ্যাদ্বয়ের সকল মৌলিক উৎপাদকের গুণফল নিতে হবে, যা সংখ্যাদ্বয়ের গুণফলের সমান।
ভগ্নাংশের ল.সা.গু ও গ.সা.গুঃ
কোন মন্তব্য নেই